290 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
et l’on vérifie très-facilement que la somme
nX, + (n —1)X, 2

est égale au produit de la fonction X,_, par (2n—1) x:
on a donc

(3) nX,—(2n —1)2X, 4 + (n —1) X, » =.

Cette formule servira à définir X, en y faisant n= 2 et
en substituant les valeurs de X, et X, écrites plus haut;
on trouve ainsi

(4) …
Cela posé, considérons la suite des fonctions
| ‘ (5) X. X/z—1w Xn—2v 05 Ls Xo3

la dernière de ces fonctions est constante ; et, d’après la
formule (3), deux fonctions consécutives ne peuvent être
nulles pour une même valeur de x ; car, si elles s’éva-
nouissaient, la dernière fonction X, serait nulle, ce qui
n’a pas lieu ; en outre, quand l’une des fonctions X, autre
que la première, s’annule, les fonctions qui la compren-
nent sont de signes contraires, d’après la formule (3)-
Enfin cette même formule (3), jointe aux formules (1)
et (2), montre que l’on a

X/n — (— Î)"' pour.Ææ—-—-T,

Kn=—+1l pour _ x=——+1;

donc, quand on fait croître x de —1 à +1, la suite (5)
perd » variations, d’où l’on peut conclure que :

19 L’équation X, =0 a ses n racines réelles, inégales
1et+1;
29 Les racines de l’équation X,_,= 0 séparent celles

 

et comprises entre

- de l’équation X,=0o:;
/ l ,
3° Siaet6 >a sont deux nombres compris entre — 1