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COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Il est évident que ces conditions sont les seules que
nous avons fait intervenir dans la démonstration du
n° 127; on peut donc affirmer que, dans notre hypo-
thèse, le nombre des racines réelles de l’équation V= o
comprises entre « et 6 est égal au nombre des variations
perdues par la suite (1) dans le passage de x=—0a à
DSs

Supposons que la dernière des quatre conditions que
nous venons de mentionner soit remplacée par la condi-

Ë Ë ; V :
tion contraire, savoir : que le rapport îî passe toujours

du positif au négatif en s'annulant, quand x croit de «
à 6. Les trois premuères conditions étant maintenues, il
est evident que le nombre desracines réelles de l’équation
V = 0 compris entre x et & sera égal au nombre des
variations gagnées par la suite (1), quand x croît de æ à 6.

C’est uniquement pour fixer les idées que nous avons
supposé 6 >a; les mêmes choses ont lieu dans le cas de
6 < a, seulement les variations perdues deviennent des
variations gagnées, et inversement.

133. Supposons maintenant que les trois premières
des quatre conditions précédentes existent seules, et que
l’on ait constaté chez la suite (1) une perte ou un gain
de Æ variations dans le passage de x=xàx=6ê, 2 et €
étant des quantités que]conqucs données. Il est évident
que, si l’on fait varier x dans le même sens, depuisx ==
jusqu’à x = 6, le nombre des variations de la suite (1)
ne pourra être modifié qu’à l’instant où x atteindra et
dépassera une valeur qui annule la première fonction V.
Donc la perte ou le gain de Æ variations ne peut avoir lieu
que si l’équation V = o a au moins Æ racines réelles entre
œ et 6.

En outre, si l’on désigne par À l’excès du nombre de