SECTION T. — CHAPITRE VI. 283

Des conditions de réalité de toutes les racines d’une
équation de degré donné.

130. Pour avoir le nombre total des racines réelles
d’une équation donnée V = o, il suffit de former, confor-
mément au théorème de Sturm, la suite des fonctions

(1) v C 1R

et d’y substituer successivement deux limites L, L’,
entrelesquelles toutesles racines réelles soientcomprises ;
mais comme, pour une valeur de x dont le module est
suffisamment grand, une fonction entière a toujours le
signe de son premier terme, et que nous n'avons à nous
préoccuper que du signe des résultats des substitutions,
on peut prendre, pour plus de commodité, — æ et +œ
au lieu de L et de L/. Soient donc Æ le nombre des va-
riations contenues dans la suite des fonctions (1), pour
x —— ; K le nombre des variations de la même suite
pourx=——+ œ , le nombre des racines réelles de l’équa-
tion V— osera k —W".

Si l’on veut avoir séparément le nombre des racines
positives et celui des racines négatives, 1l faudra en outre
substituer zéro à x dans la suite (1), ce qui réduira cha-
cune des fonctions à son dernier terme ; soit k, le nombre

des variations de la suite (1) pour x = o, l’équation pro-
posée aura %, — K racines positives et & — Æ, racines
négatives.

131. Supposons maintenant que l’on veuille connaître
les conditions qui doivent être remplies pour que l’équa-
tion V = o, du degré m, ait ses m racines réelles et iné-
gales. Il faut et il suffit, pour qu'il en soit ainsi, que la
suite des fonctions (1) perde m variations quand x croît
de —æ à — ; cela exige d’abord que cette suite ait au