SECTION I. — CHAPITRE VI. 281

2° La condition que la dernière des fonctions (1), sa-

voir V,, est une constante, n’intervient pas dans la dé-
monstration que nous avons présentée du théorème ; cette
démonstration suppose seulement que V, ne change pas
de signe quand x varie de æ à 6. Il résulte de là que si,
parmi les fonctions (1), il s’en trouve une V, qui n’ait
aucune racine comprise entre æ et 6, on pourra arrêter
la suite (1) à cette fonction et faire abstraction de toutes
celles qui suivent.

3° Tl peut arriver que l’une des limites æ, 6 annule
une ou plusieurs des fonctions de la suite (4); mais il
ne saurait résulter de cette circonstance aucun embarras
pour compter le nombre des variations. Il suffira effecti-
vement, dans ce cas, de substituer « —P au lieu de z ou
6+hau lieu de 6, h désignant une quantité aussi petite
que l’on voudra. Supposons que la fonction V s’annule,
soit pourx =a, soit pourx=6. Ainsi que nous l’avons
vu, les deux fonctions V, V, offriront, dans le premier
cas, une variation pour x=—a—h, et une permanence,
dans le deuxième cas, pour x=6+/h. Quant aux fonc-

tions qui suivent, si l’une d’elles s’annule pour x=z ou

 

pour x=6, nous avons vu que, pour une valeur de x très-

peu différente de œ ou de 6, la suite formée par cette

fonction et les deux qui la comprennent offre toujours
[ f

une varialion unique.

129. Le théorème de Sturm s’applique sans modifica-
tion aux équations qui ont des racines multiples, pourvu
que l’on fasse abstraction du degré de multiplicité de ces
racines.

En effet, soit X0 une équation qui a des racines
multiples, et désignons par X, la dérivée du polynôme X.
Opérons sur les fonctions X et X,,, comme s’il était ques-

tion de chercher leur plus grand commun diviseur, en