250 COURS D,ALGËBRE SUPÉRIEURE.

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Süpposons maintenant que x, croissant de à 6, at-

teigne une valeur a qui annule la fonction V, et pour

laquelle quelques-unes des autres fonctions dela suite(1),
telles que .
‘7/.'1 ‘T/7 ….

;

puissent aussi s’annuler. Le raisonnement qui précède
montre que la portion de la suite (1) formée avec l’une de
ces dernières fonctions et les deux qui la comprennent
présente une variation 1miquc pour x—a—h, ainsi

que pour x—a+h. D’ailleurs, d’après le lemme du

n°120,1le rapport y passe du négatif au positif quand x
1

croît de a—hàäa+h; ce qui revient à dire que les deux
fonctions V, V, offrent une variation pour x=a—h, et
une permanence pour x = a+h ; donc, dans le passage
de x—a—h à x—a+h, la suite entière des fonc-
tions (1) perd une variation et n’en perd qu’une seule.

En résumé, si x croît d’une manière continue depuis x
Jusqu’à 6, le nombre des variations de la suite des fonc-
tions (1) n’éprouve de modification que quand æ atteint
et dépasse une racine de l'équation V= o, et chaque fois
que x atteint et dépasse une telle racine, il y a une varia-
tion perdue, dans la suite des fonctions n\1); ce qui dé-
montre le théorème énoncé,

128. Sturm a fait lui-même sur son théorème des
remarques importantes que nous reproduisons ici.

19 Dans les divisions successives qui servent à trouver
les fonctions V,, V3,..., 1l est permis de multiplier ou
de diviser les dividendes ou les diviseurs par des nom-
bres positifs quelconques ; les fonctions (1) se trouveront
alors multipliées par des facteurs positifs, ce qui ne chan-

# gera point leurs signes ; mais il faut éviter de supprimer
ou d’introduire des facteurs négatifs.