SECTION I. — CHAPITRE VI. 277

.

auquel ce géomètre est parvenu ne donne pas une solution
complète de la question que nous venons de poser.
L’Algèbre offrait ainsi une lacune regrettable, mais
cette lacune se trouva comblée de la manière la plus heu-
reuse par le fameux théorème de Sturm. Ce grand géo-
mètre communiqua à l’Académie des Sciences, en 1829,
la démonstration de son théorème qui constitue l’une
des plus brillantes découvertes dont se soit enrichie

l’Analyse mathématique.

127. Le théorème de Sturm consiste dans la proposi-
tion suivante : ‘

Tuéorème. — Ætant donnée l'équation V=o dont le
premier membre est une fonction entière d'un degre
quelconque m de l'inconnue x et qui n'a pas de ra-
cines égales, soit V, la dérivée du polynôme V. Ejec-
tuons la division de V par V4, jusquà ce que nous
soyons arrivé à un reste de degré infeérieur au degré
de V ,, changeons les signes de tous les termes de ce reste
et désignons par V, ce qu'il devient alors. Divisons de
méme V, par V,, et, après avoir changé les signes des
termes du reste, nous aurons un nouveau polynôme V3
dont le degré sera inférieur au degré de Va. Divisons
pareillement V, par V; et continuons la méme série
d'opérations, comme s’il s'agissait de déterminer le plus
grand commun diviseur des polynômes V et V,, mais
en ayant soin de changer les signes de chaque reste
avant de le prendre pour diviseur. L'éguation proposée
n'ayant pas de racines égales, nous arvriverons après un
certain nombre u— 1 de divisions à un reste numérique
différent de zéro, et nous représenterons par V, ce reste
changé de signe. Nous obtiendrons ainsi une suite de
u+1 fonctions
(1) ue uN