SECTION I. — CHAPITRE VI. 275

rivée f'(x) a ici pour valeur

e np
# ( =m gnst (.r’”*” sp JL\ ;

m ;

si p est positif, l’équation /”(.1”) = o ne peut avoir d’autre
racine réelle que zéro; donc la proposée ne peut pas avoir
dans ce cas trois racines réelles. Si p est négatf, et que

l’on désigne par b le radical

 

/71*1l/ ///}

v SE
m

l’équation /"(x)= 0 admettra les racines — b et + D,
indépendamment des racines nulles qu’elle peut avoir et
qui sont, par hypothèse, en nombre pair. Alors, si la pro-
posée a trois racines réelles, — à sera comprise entre les
deux plus petites, tandis que + b le sera entre les deux
plus grandes ; donc ces trois racines serontrespectivement
comprises dans les trois intervalles que forme la suite

=o, =6" b #0
ce qui exige que l’on ait

f(—+b)>0, f(+6) <o.

Réciproquement, si ces conditions sont remplies, l’é-

quation proposée aura nécessairement (n° 115) une ra-
cine comprise entre —œ et — b, une deuxième entre
— b et + b, une troisième enfin entre + A et + œ . En
remetlant au lieu de b sa valeur, on trouve que nos
deux conditions deviennent

m m
x
]Ï]} mn ,](/ ]l]] m-—n
( ;
( m > == 1 m

et elles peuvent s'’exprimer par une inégalité unique, en

ième

écrivant que la puissance (m—n) de la quantité in-

>i<—me llC

termédiaire est inférieure à la puissance (m—n