SECTION I. — CHAPITRE VI. 27I

contenus dans le premier membre o_fl}'ira N+— »2K wva-
riations, K étant un entier positif ou nul; ce qui est
précisément le théorème de Descartes.

Théorème de Rolle.

123. La proposition connue sous le nom de théorème
de Rolle est utile dans quelques circonstances, et el le se
rattache directement à la théorie que nous exposons;
aussi croyons-nous devoir la présenter iei.

Tuéonème. — Si a et b désignent deux racines consé-
cutives de l'équation f (x) — 0, en sorte que cette équa-
tion n'ait aucune autre racine comprise entre a et b,
l’équation f'(x) = 0, obtenue en egalant à zéro la dé-
rivée de f (x), @ au moins une racine comprise entre a
et b, et, quand elle en a plusieurs, le nombre de ces ra-
cines est umpair.

En effet, si l’on suppose b >a et que l’on désigne
par » une quantité positive suffisamment petite, le pre-
mier des deux rapports

[(a—+—/z)_ Jf(b—h)
f'(a+h) f (b—h)

sera positif, tandis que le second sera négatif (n° 120).
D’ailleurs les numérateurs f(a +h) et f(b— h) sont
de même signe, puisque l’équation proposée n'a pas de
racine entre a+— h et b — h; donc les dénominateurs
f'(a + h), f'(b — h) sont de signes contraires, et, en
conséquence, l’équation /" (x) = 0 a un nombre impair
de racines comprises entre à + h et b — h, ou entre a
et b. Il faut remarquer que ce théorème subsiste, lors
même que « ou b serait une racine multiple de l'équa-
tion proposée.