270 COURS D7ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Quand on applique ce théorème, il peut arriver que
l’un des nombres a et € qu'il faut substituer à x annule
quelques-unes des fonctions de la suite (1). On sauve
cette difficulté en substituant & + À au lieu de æ et6é —/h
au lieu de 6, % désignant, comme précédemment, une
quantité positive suffisamment petite. Aucun calcul ne
sera d'ailleurs nécessaire, car supposons que l’hypothèse
x = a annule les termes de la suite (3) à l’exception du
derniér, nous savons que cette suite (3) n’offre que des
permanences pour x — æ +h. Si c’est, au contraire,
l’hypothèse x =— 6 qui annule les fonctions dont nous
venons de parler, la suite (3) ne présentera que des va-
riations pour x — 6 — P.

Le théorème de Descartes peut être regardé comme un
corollaire de celui de Budan. Supposons, en effet, que l’on
veuille appliquer ce dernier théorème en prenanta =o,
6= œ . Pour x=+ c, la suite des fonctions (1) ne
présente que des permanences, et pour x = o ces fonc-
tions se réduisent aux coefficients de l'«Î:quation_f{x) =—0Oo,
en faisant abstraction de certains multiplicateurs numé-
riques et essentiellement positifs. ÀA la vérité, l’hypo-
thèse x =0 peut annuler quelques-unes des fonctions (1),
et cela arrive nécessairement si l’équation proposée
manque de quelques termes. Mais supposons qu’au lieu
de substituer zéro on ait substitué successivement — /
et + / ; comme le nombre des variations perdues en pas-
sant de —h à +/h est pair, si, comme on le suppose,
l’équation proposée n’a pas de racines nulles, il est permis
de ne tenir aucun compte de celles des fonctions (1) qui
s'annulent pourx=—0o, lorsque l’on applique le théorème
de Budan en prenanta =+het8=+wœ ; OU, Ce qui
revient au même, en prenant q> 0,6 = + œ . Il résulte
done du théorème de Budan que : si l'équationf (x) = 0
a N racines positives, la suite des coefficients des termes