SECTION I. — CHAPITRE VI. 269

de a—h à a+h; ce nombre de vañiations perdues
peut se réduire à zéro quand n = 1; mais, pour n >1,
il est positif.

Il résulte de là que, x croissant de æ à 6, chaque fois
que cette variable atteint et dépasse une valeur a qui
annule quelques-unes des fonctions (1), cette suite perd
y + 9k variations, À étant un entier positif ou nul, et le
nombre v, qui peut aussi se réduire à zéro, étant préci-
sément égal au nombre des racines de l’équation f(x)=0
qui sont égales à a. Si donc N désigne le nombre total des
racines réelles égales ou inégales comprises entre æ el 6,
le nombre des variations perdues en passant de x = «
à x = 6 sera égal à N ou égal à N augmenté d’un nombre
pair.

CororLamme. — Si l’équation f(x) =0 a N _racines
comprises entre « el 6, et que la suite (1) perde N+2K
wariations dans le passage de x = a à x = 6, l‘équa-

tion a au moins 2K racines imaginaires.

En effet, désignons par N, le nombre des racines com-
prises entre — co et &, par N'celui des racines comprises

- entre 6 et + œ . Soient aussi No + 2Ky, N'+ 2 K les

nombres de variations perdues dans la suite (1) quand on

passe de xr=—+s àix=a et de r=6àxr=—=+.1
est évident que pourx=—® la suite Q1) présente m

variations, tandis qu’elle n’a que des permanences pour
x = œ ; On a donc

N +N+HN +2K, +2K - +2K = m;
le nombre 21 des racines imaginaires est égal à
mm — (No + N + N’), et l’on a conséquemment
I=K,+K+K', doù I=ou >K.

122. Nous présenterons ici deux remarques au sujet
du théorème de Budan.