SECTION I. — CHAPITRE VI. 267

6>a, et si, après chaque substitution, on compte les
wariations de signe que présente la suite des résultats,
le nombre des racines de f (x) = 0 comprises entre œ et
6 ne peut jamais surpasser celui des variations perdues
de x =— a à x = 6, et, quand il est moindre, la difje-

rence est toujours un nombre pair (" ).

En effet, quand on fait croître x d’une manière con-
tinue de œ à 6, la suite des signes des fonctions (1) ne peut
éprouver de modifications qu’à l’instant où x atteint et
dépasse une valeur qui annule quelqu‘unc de ces fonc-
tions; supposons donc que, pour x — a, une ou plu-
sieurs des fonctions (1) s’annulent. Parmi ces fonctions
qui s’annulent, pour x = a, il peut y en avoir plusieurs

qui soient conséeutives ; soient donc géné1‘al€nwnt

,\{2 _/‘:LÎ "'ï-, l/\lH_1 {_[,.\?’ es f;L+11—1 (r\)

\

n fonctions consécutives qui s'annulent pour x = à, le
nombre » pouvant se réduire à l’unité. L’indice u peut
être zéro, auquel cas f*(.x) représente la fonction f (x);
mais le dernier indicey H n— 1 ne peut être égal à m,
car la fonction / "(x ) estune constante différente de zéro.

Cela posé, considérons la portion de la suite (1) qui
comprend les fonctions (2) et la fonction suivante,

savoir :

3 } À/“'L" x), '/'5,.+1 (æ), s2 /‘;;.+;;-1 L ‘3, l/-;L+n ( l\, ;

\ ue \

d’après le corollaire du lemme qui précède, si h désigne

 

(*) Ce théorème est souvent attribué à Fourier, qui l’avait sans aucun
doute rencontré dans ses recherches ; mais la priorité appartient réelle-
ment à Budan, qui communiqua en 1811 à l’Académie des Sciences la
démonstration complète du théorème. L’énoncé que nous adoptons ne
diffère que dans la forme de celui donné par Budan, et il est tel que
Fourier l’a présenté dans son Analyse des équations, publiée après sa mort,
en 1831, par les soins de Navier.