SECTION I. — CHAPITRE VI. 965

réelles. Mais, en cherchant à en modifier l’énoncé de ma-
nière à embrasser tous les cas, Budan est parvenu à un
théorème remarquable que nous allons exposer, après
avoir établi préalablement un lemme fort important sur
lequel nous aurons à nous appuyer.

Lemme. — Si f (x) désigne une fonction entière de
x ayant pour dérivée f'(x), et que l’on fasse croitre x
f()
f"\,zr)

s'annulera, il passera toujours d'une valeur négative

de — m à + œ , chaque fois que le rapport

à une valeur positiwe.

En effet, soit a une valeur de x pour laquelle f(x)
s'annule. Si m est le degré de cette fonction et que l’on
représente par f'(x), f"(æ) <<> f'(x) ses dérivées

 

 

snecessives, on aura, pourx = a +u,
; 8 Us u” °
f(a+u)=f(a) + —[./ (a)+..+ «I—‘)——;f"(a/} #.
I[’”
= —(/'"((l),
13N
L{ \ / >\ u Wl u'l-—l n(
f'a+u)=f'(a)+ f" (a)+.. ; PE ta)= c8
I r.2...(r —1)
ur1
+——————f/"(a);

[.2..…\/}I—l/‘\

comme il peut arriver que la valeur x = a annule f‘(x)
et quelques-unes des dérivées suivantes, je désignerai
généralement par f*(x) la première de ces dérivées qui
ne s’annulent pas pour x = . Alors, en divisant l'une
par l’autre les deux équations précédentes, on aura

 

 

lllll'll _
; e e U )
f(a+u) f1['/ S ; :]ln+|\...mf PiCE
./‘(l+uj S iT E un ; ?
j\ ju\“)+.“+ {/nz<a)

n...(nz——x;