COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

  
   
 
 
 
   
  
 
 
 
 
 
 
 
 
    
     
  
 
 
 
     
   

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conques à et 6> a, et si, après chaque substitution, on
compte les variations de signes que présente la suite
des résultats, le nombre des variations perdues en pas-
sant de x=—a à x =6 sera précisément égal au nombre ‘
| des racines de l’équation f(x) =0 comprises entre «
et 6.

En effet, posons successivement x=—x'+2a et
x = x'+ 6. Le nombre des racines de la proposée qui
sont supérieures à œ sera égal au nombre des racines po-
sitives de la transformée f(x"+ a) = o, et, en consé-
quence, égal au nombre des variations du polynôme
f(x‘+0), puisque toutes les racines sont supposées
réelles. Pareillement le nombre des racines de la pro-
posée qui sonl supérieures à 6 sera égal au nombre des
racines positives de f(x°+6) = o, et, par suite, égal
au nombre des variations de /(x"+ 6); d’où 1l suit que
l’équation f(x)=0 a précisément autant de racines
comprises entre œ et 6 qu'il ya d’unités dans l’excès du
nombre des variations de f(x"+ &) sur le nombre des
variations de /(x"+ 6). Mais on a

! 19 !
x x* x m

f(.r'—{—.r):f{.::) :f’<.r) ; f"\.f} F f"”{.l‘ï

I 1.2 ro.m

 

donc l’excès dont nous venons de parler est égal à la
différence entre le nombre des variations que présente
la suite

flæ), Flæ), f'{æ), —. fræ),
pour x = «, etle nombre des variations que présente la
même suite pourx = 6.

Théorème de Budan.

y,/" . 190. La proposition précédente cesse d'être exacte,
lorsque l’équation /(x) = 0 n’a pas toutes ses racines