SECTION T. =- CHAPITRE Vr. 263

imaginaires lorsqu’il manque plus d’un terme entre deux
termes de signes contraires, et lorsqu’il manque même un
seul terme entre deux termes de même signe.

CororLaire I. — Si une équation a toutes ses racines
réelles et positives, l’équation est complète et elle ne
présente que des variations.

Car le nombre des variations doit être égal au degré m
de l’équation, et celle-ci renferme en conséquence m +1
lermes.

Cororrzaine I. — Si l’équation f(x) = 0 a toutes
ses racines réelles et que a soit une quantité positive, le
produit (x —a)f(x) ne renferme qu'une variation de
plus que f(x).

Car, dans chacune des équations

f(æ\ =-.0, (.I,‘ S (1\‘f{Ç.r:\: —
:le nombre des racines positives est égal au nombre des
variations du premier membre. La deuxième équation

ayant une seule racine positive de plus que la première,
elle a aussi une seule variation de plus que celle-ci.

119. Le théorème de Descartes conduit encore à une
autre proposition sur laquelle nous croyons devoir ap-
peler l'attention, parce qu’elle est le point de départ de
recherches nouvelles dont nous aurons à parler ensuite.

Cette proposition est la suivante :

Tréorème. — Soient f(x)=0 une équation du
degré m dont les m racines sont réelles, et f'(x),
f (x ), , f"(x) les m dérivées successives du poly-
nôme f(x). Si, dans la suite des m+ 1 fonctions

Flæ), F{æ)y F'{æ), c5 Fr(æ)

on substitue successivement deux quantités réelles quet-