262 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

aussi bien que dans la proposée, et, comme il y a v cou-
ples de pareils termes, ils apporteront 2y unités dans la
somme V + V'. Enfin, si l’on considère deux termes de
même signe et dans lesquels la différence des degrés soit
un nombre pair 2 g, ces termes ne donneront aucune va-
riation dans la transformée en — x et ils ne fourniront
rien à la somme V + V". On a'donc, d’après cela,

<'2) VHV =p+29,

et par conséquent la formule (1) peut s’écrire

\3J m# v ; 20

Si l’on désigne par P le nombre des racines positives de
l’équation, par P" le nombre des racines négatives et par
21 le nombre des racines imaginaires, on aura aussi

(_î) m=—P+P +35I:;

et la comparaison des formules (3) et (4) donnera

{5\ 41:‘V—P2}—+—\\‘/——P';}—5—2S.

N

\

S1 l’équation proposée a toutes ses racines réelles, I est
nul; d’ailleurs aucun des nombres V — P, V — P ne
peut être négatif; donc on a non-seulement

(6) P=V, P=V,
mais encore

>e=sDe

<

Les formules (6) démontrent la proposition énoncée ;
la formule (5) nous fait connaître en outre une limite du

nombre des racines imaginaires. On en tire effectivement

E— ur > S:

d'où il résulle qu’une équation à toujours des racines