260 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

de ce polynôme est un nombre pair 2 qui peut se ré-
duire à zéro.

Le polynôme F(x) ayant 2k variations, le produit
F(x) (x —ay,) en aura 2k+1, d'après la proposition
précédente, Æ, étant égal ou supérieur à . Pareillement,
tions, et ainsi de suite, de manière que le dernier pro-
duit, qui est égal à f(x), aura 2%, + v variations, Æ, étant
un entier positif ou nul.

le produit F(x)(x — à1)(X — A3) aura 2%, 2 varia-

Cororarre. — Dans une équation quelconque, le
nombre des racines négatives ne peut pas surpasser le
nombre des wvariations de l’équation transformee en
— x, et, quand il est moindre, la différence est toujours
un nombre pair.

118. Le théorème de Descartes a pour complément
la proposition suivante, qui n’en est au surplus qu’une
conséquence : E

Tuéorème. — Si une équation a toutes ses racines
réelles, le nombre des racines positives est égal au
nombre des variations, et le nombre des racines néga-
tives est égal au nombre des variations de la transfor-
meée en — X.

Considérons les différences entre le degré de chaque
terme d’une équation de degré m et le degré du terme
suivant. Parmi ces différences, il peut y en avoir qui

soient des nombres impairs : je les désignerai par
1 … F3 AN

quantaux différences qui sont égales à des nombres pairs,
je distinguerai celles qui répondent à deux termes de
signe contraire de celles qui se rapportent à deux termes