SECTION I. — CHAPITRE VI. 259

produit x f(x). Il est évident que le même raisonne-
ment s'applique à ceux des termes suivants que nous con-
sidérons. Mais le dernier terme de —af(x) est de signe
contraireau terme de degré m,—+1 quiÏîgure dans xf(x),
et il ne peut se réduire avec aucun de ceux contenus
dans ce produit. Donc, dans le produit (x—a) f (x),
les termes dont les degrés sont m+1, my++1, M9+1,...
mp,+1 et le dernier terme auront alternativement les
signes — et —; il y a par conséquent au moins n+1 va-
riations dans ce produit. Il peut y en avoir davantage ;
mais comme, en passant d’un signe + à un signe — ou
inversement, on rencontre nécessairement un nombre
impair de variations, il est évident que, si le produit
(x—a)f(x) a plus de n+1 variations, il en aura
ak+—n+1, 2k désignant un nombre pair.

117. Le lemme que nous venons d’établir nous donne
immédiatement le théorème de Descartes, qui consiste
dans la proposition suivante :

Tuéorème. — Dans une équation quelconque, le
nombre des racines positives ne peut pas surpasser le
nombre des variations du premier membre; et, quand il
est moindre, la différence est toujours un nombre pair.

En effet, soit f(x)= o l’équation proposée. Décom-
posons le polynôme f (x) en ses facteurs linéaires ; dési-
gnons par F(x) le produit des facteurs qui répondent
aux racines imaginaires ou négatives, et soient à;, da,...,
a, les racines positives. On aura

t e " - / Z
f(æ) = F(æ) (x — ay) (æ — a,). . .(x — a,).

L'équation F(x)=0 n’ayant pas de racines posi-
tives, le premier et le dernier terme de F(x) sont de
même signe, et en conséquence le nombre des variations