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258 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

que a soit une quantité positive, le nombre des varia-
tions contenues dans le produit (x —a) f(x) surpas-
sera d’une unité au moins, et toujours d’un nombre
impair, le nombre des variations de f (x).

En effet, ordonnons la fonction f(x) par rapport aux
puissances décroissantes de x et posons

f(æ) = (P,x"+..) — (P, 774 +..) + (Baamst….) —- ...
+(———I)”(P…T"”tt—+—...),

en écrivant entre parenthèses tous les termes consécutifs
qui ont le même signe ; le nombre des variations de f(x)
est évidemment égal à n. Multiplions /(x) par x—a,

et écrivons d’abord le produit par x; il viendra

xf (a)=(P,x7H 4 ) — (P ) 4 (Pa uHH e

2 (———I>” ([)nmmn+l_l___ - /\è

Pour déduire de ce résultat la valeur du produit
(x—a) f (æ), il faut lui ajouter —af(x). Or je dis
qu’après cette addition les signes des termes dont les de-
grés sont respectivement m—+-1, m,—+—1, m+I,...,
m,-1 seront restés les mêmes. Cela est évident pour le
prémier de ces termes, puisque le produit —af(x)
n’est que du degré m. Quant au terme du degré m,+1,
il pourra être modifié, parce que —a/(x) peut ren-
fermer un terme du même degré; mais ce terme, s’il
existe, est le produit par —a du dernier des termes con-
tenus dans la première parenthèse de f(x), et, par con-
séquent, il est négatif; donc le signe du terme de degré
m—+1 dans x f(x) ne sera pas changé. Pareillement, si
—af(x) peut donner un terme du degré m,+1, ce
terme est nécessairement le produit par —a du dernier
des termes contenus dans la deuxième parenthèse de
f (x), etilale signe +, comme le terme semblable du