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SECTION I.— CHAPITRE VI. 2 7

On suppose, dans cet énoncé, que le premier terme de
l’équation proposée /(x)=0 a un coefficient positif. Si
le dernier terme de cette équation est négatif et que l’on
nomme X une limite supérieure des racines positives de
l’équation f(x) = o, les résultats f(X), f(0) seront de
signes contraires; il y a donc une racine positive, et, s’il
y en a plusieurs, elles sonten nombre impair. Sile der-
nier terme de l’équation f(x) =0 est positif, on chan-
gera x en—x, et, la transformée étant écrite de manière
que son premier terme ait un coefficient positif, le der-
nier terme sera négatif; on rentre dans le premier cas.

Cororrarre II. — Zoute équation de degré pair dont
le dernierterme est ne'gatifa au moins une racine posi-
live etau moins une racine négative.

On suppose encore ici que le premier terme de l’équa-
tion proposée f (x)=0o ait un coefficient positif. Si l’on
nomme X une limite supérieure des racines positives de
l’équation f(x) = o, les quantités f(X), f (0) seront de
signes contraires ; donc l’équation a un nombre impair
de racines positives, et par conséquent elle en a au moins
une. Ce raisonnement s’applique aussi à l’équation
f(—xæ) = 0; donc la proposée f(x) =0 a un nombre

impair de racines négatives.

Zhéorème de Descartes.

116. On dit que deux termes consécutifs d’une fonction
entière f(x) à coefficients réels offrent une variation,
quand ils ont des signes contraires; deux termes consé-
cutifs qui ont le même signe offrent une permanence.
Cela posé, l’'importante proposition connue sous le nom
de Zhéorème de Descartes repose sur le lemme suivant :

Lemme. — Sif(x) désigne une fonction entière et
S. — Alg. sup., 1. 17