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COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

stituant x, et X à x dans le polynôme f(x) sont de
méme .s‘igllrz ou de signes contraires; zéro est 7'egm'dæ'
comme un nombre pair. En particulier, si f(xo) et
f(X) sont de signes contraires, l’équation f(x) = 0 a
au moins une racine comprise entre x, et X.

En effet, supposons le polynôme / (x) décomposé en
facteurs linéaires. Nous savons que si, parmi ces facteurs,
il)‘ en a u égaux à x — (/) +d \——1\, il yen a aussi u
qui sont égaux à x —(p —q \//:—1>; le produit de ces
24 facteurs est la puissance de degré p du polynôme
(x — p)?+ q? , lequel reste positif pour toutes les valeurs
de x. Si donc on désigne par F(x) le produit de tous
les facteurs linéaires imaginaires de f (x ), on aura

f x\.'l‘j} — F(”I‘) (m-—— .rÛ /\1 —.7?2). ; /r — .1‘,1),

F(x) restant toujours positif. On a, d’après cela,

 

 

./ ï.‘0) = É ]S.7'…) e 4g =— La X0 F Xn
eFN n>
( 1 2 n
p à F(x se “
le premier facteur l*(():; est positif, et l’un des facteurs
: ; dsx T ‘ ; 8 SR ;
suivants, telsque * —, * Ne peut être négatif que si la ra-
=— 522
P.

cine x, est comprise entre x, et X. Donc la valeur de
JACHS) XE e ; e Ë

/(—Ÿ\/\ est positive ou négative, suivant que lcqunlmn
f(x) = 0 a un nombre pair ou un nombre impair de ra-
cines comprises entre x, et X. Dans le premier cas,
f(æo) et f (X) sont de même signe; dans le deuxième

cas, ces quantités sont de signes contraires.

CororLamre I. — Zoute équation de degré impair a
au moins une racine réelle de signe contraire à son
dernier terme.