254 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

et ses dérivées successives. Si pour une valeur a attri-
buée à x ces fonctions sont positives, elles le seront
aussi pour toute valeur a + h de x supérieure à a.

Il suffit évidemment de considérer la première fonction
Sf(æ), etla proposition énoncée résulte immédiatement
de l’égalité
12s h

SP E
1.2/ ( Z +1.2...m

 

/ \ h !
f'{a+fi):f({z)—ç—Îf (a)+

 

fm ((I).‘,

tous les termes du second membre étant par ll\*].!0îhè5€
positifs, on a

f(a+h)>o.

ll suit évidemment de là que l’équation f(x)=0 n’a
aucune racine supérieure à a.

D'après cette proposition, pour avoir une limite supé-
rieure des racines de l’équationf{x} = o, on formera la
suite

.Î(‘”)* fl(x)) f”(-'-‘),...,j"flæ).

On déterminera un nombre X qui rende JU, po-
sitive, ce qui est facile, puisque cette fonction est du pre-
mier degré. Siaucune des fonctions qui précèdent f7—1 (x)
n’est négative pour x—x,, on pourra prendre x pour
la limite cherchée. Si, au contraire, en remontant la
suite que nous considérons, on rencontre une fonction
qui soit négative pour x — ,, on prendra une valeur x,
supérieure à x9 qui rende la même fonction positive.
Pareillement, si, pour cette valeur X , l’une des fonctions
qui précèdent celle dont nous venons de parler est né- -
gative, on prendra une valeur X2 > X pour laquelle la
même fonction soit positive, et ainsi de suite. On arrivera
infailliblement par ce procédé à une valeur de x pour
laquelle la fonction f(x) sera positive ainsi que toutes
ses dérivées : cette valeur sera la limite cherchée.