SECTION I. — CHAPITRE V. 243

dans un grand nombre de questions, et nous nous
- 1 .

proposons de l’établir ici. La démonstration que nous

allons présenter repose sur les deux lemmes sui-

vants :

- Lemme Î. — Si un polynôme X fonction de x, à coef-
ficients entiers du degré m et dans lequel le terme le
plus éleve en x a pour coefjicient l’unité, est divisible
par le polynôme K, du degré n, dans lequel le terme
le plus élevé en x a pour coefficient l'unité et dont tous
les coefficients sont rationnels, ceux-ci sont nécessai-
rement des nombres entiers,

En effet, désignons par X» le quotient de X par X,,
on aura
X =— X, X»,

et si X, contient des termes fractionnaires, réduisons-
les au mème dénominateur, sauf le premier x?. Soit a# D
ce dénominateur, a# étant la plus haute puissance de
l’un des nombres premiers qui en sont diviseurs. On

aura (n° 13)

X” XI/V
x, -x + .
; » a” F D ”

X', X', X" étant des polynômes à coefficients en-
tiers, le premier du degré n et les deux autres, au
plus du degré n — 1. Il faut bien remarquer que X/
n’est pas nul, conformément à notre hypothèse ; la même
chose aura lieu pour X', à moins que l’on n’ait D = 1.
On aura, en opérant d’une manière semblable,
X, x.

X7=Y,)+_%‘+ —
2 2 (lv D’

 

Le produit X, X» se réduisant à un polynôme dont tous