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222 COURS D,ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

 

D’où l’on conclut que, si r, r*, r”, .. . , 0 sont les restes
3 , , , ?

auxquels conduit la recherche du plus grand commun
diviseur des entiers mn et n, on aura

et, par conséquent, toute racine commune, «, aux deux
équations proposées, est aussi racine de

1

Il est évident d’ailleurs que, réciproquement, les racines
de cette dernière équation appartiennent aux deux équa-
tions proposées.

On peut aussi démontrerle précédent théorème en dé-
terminant le plus grand commun diviseur des binômes
am—1, 3" — 1 (n° 47); on reconnaît immédiatement que
ce plus grand commun diviseur est =} — 1.

Il résulte de là que, si m et n sont premiers entre eux,
les deux équations

SN E
n’ont d’autre racine commune que l’unité, et que, si m
est un nombre premier, l’équation
ZI” _ !
n’a de racine commune autre que l'unité avec aucune
équation de même f01‘113e et de degré moindre.

Tuéorème II. — Si « (lé$igïæ une racine quelconque
de l'équation binôme

m rmtrem
se

toute puissance de & sera aussi racine de la même équa-
tion.

L'équation