218 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

101. Il est quelquefois possible d’abaisser une équa-
tion dont deux racines sont liées entre elles par une
relation donnée, et la voie de l’élimination peut être
employée à cet effet.

; ’ Soit effectivement
; / e
(1) /(3)=o
une équation du degré m, n E Tm désignent
les m racines, et Supposons que l’on ait entre deux de
ces racines la relation
9 (5, 4 ) Æ 0
dans laquelle 9 désigne une fonction entière. On pourra
éliminer z, entre cette équation et l’équation

f\z1 E-=0,
et l’on obtiendra ainsi l’équation finale en z,
(2) F(z)=—0o.

Si l’équation proposée est irréductible, la fonction
F(z) sera divisible par f(z) d’après le théorème du
n° 100, et l’équation précédente ne sera d’aucun usage.
Mais, si l’équation proposée est réductible, it pourra
arriver que quelques-unes des racines de l’équation (1)
n’appartiennent point à l’équation (2); dans ce cas, les
polynômes f(z) et F (=) auront un plus grand commun
diviseur $ (z) différent de /(z), et l’on pourra en consé-
quence décomposer la fonction f(z) en deux facteurs,
l’un et l’autre rationnels, dans le sens qui a été indiqué
au numéro précédent.

Supposons, par exemple, que l’équation
#(3}—o

m ait deux racines z et z, dont la somme soit égale à une
; quantité donnée a. On cherchera le plus grand commun