SECTION I. — CHAPITRE IV. 217

La définition qui précède s’étend d’elle-même à une
fonction entière de plusieurs variables.

Î faut remarquer qu’une foncüon entière ou une équa-
tion peut être réductible ou irréductible, suivant la nature
des quantités regardées comme connues. Par exemple,
l’équation =2— » = o est irréductible, tant qu’on ne re-
garde comme quantités connues que les nombres ration-
nels; mais, si parmi ces quantités on fait figurer les
racines carrées des nombres rationnels, l’équation se
réduira, car son premier membre se décomposera dans
les deux facteurs 3 — \/; etz— \/E

Tnéorème. — Si f(7) = 0 est une équation irréduc-
tible, F(z) une fonction rationnelle, et que l’équation
F(z) = 0 admette une racine =, de f (=) = o, elle ad-
mettra aussi toutes les autres.

Soit, en effet,

DS

‘ x q
F(z ;
20e

ç et Y désignant des fonctions entières ; la racine z, sera,

 

par hypothèse, commune aux équations
f(_:—)ï0, ç!LZ):O;

et cela exige que le polynôme @(z) soit divisible par
# ({’_z), car autrement il y aurait un diviseur commun à
ces polynômes, et l’équation f(z) = 0 ne serait pas irré-
duetible. Soit donc

e(3)=/(=)e(2),

on aura

 

F(z)= ‘ F(z),

et, par conséquent, l’équation F (z) # 0 admettra toutes
les racines de f (=) = 0.