SECTION I. — CHAPITRE IV. 211

ExemeLe. — Appliquons ce qui précède à l’équation
du troisième degré

 

(l) 2>+ P2+— Q +R=0o.
° = l) ; # :
Si l’on remplace z par 3 — 3 et que l’on pose (n° 62)
P2 2])$ ])
p=—=—-+Q q= “—)Q +R,
3 27 3

cette équation se réduira à
(2 >+p=+q=0.

Les racines de l'équation (2) sont égales à celles de
l’équation (1) augmentées d'une même quantité; donc,
pour l’une et l’autre équation, l’équation aux différences
est la même. On obtiendra celle-ci en éliminant z entre
l’équation (2) et l’équation
(3) 322 + 3uz + (u* +p)=0c.

Le moyen le plus simple de faire cette élimination con-
siste à retrancher les équations (2)et (3) l’une de l’autre
après avoir multiplié la première par 3 et la seconde
par z, ce qui donne

(4) 3uz? + (u? — 2p)z— 34 =0;

2

à tirer des équations (3) et (4) les valeurs de z et z? sa-
voir :
2

u* + pu +— 3q u* — pu* + qqu — 2p®
E E z e E
2{112+p\, ; 6 (u? + p) ;

et à égaler la seconde expression au carré de la première.
Posant ensuite Ë

[(2 5 U,
on obtiendra l’équation aux carrés des différences de-
mandée, qui est
2

L

8 + Gpcfl — 3p?e + (47° + 279