210 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

Ce système peut être remplacé par le suivant :

fJî.z) —, /(u +Z) —f‘\

 

lequel se décompose en deux autres, savoir :

(1) Ls — F(u-++z=)—f(3)

—0
u ,

(2) F

ta
l
£

u—O

Les systèmes de solutions du système (2) sont formés
d’'une quelconque des racines z de la proposée et d’une
valeur nullé de w; quant aux équations (1), elles peuvent
être écrites sous la forme

m—i
f(z)=0 f,(Z)+—u—f”(z)—+—...—i———u Fs =0
GI 1.2 É ms ;

elles donneront pour équation finale la transformée
F (u) = 0 que l’on cherche, et celle-ci n’aura de racines
nulles que si la proposée a des racincs égales.

On reconnaît a priori que le degré de l’équation de-
mandée est égal au nombre des arrangements de m choses
deux à deux, c’est-à-dire égal à m (m—1); en outre, il
est évident que les m (7m — 1) racines de cette équation
formeront des couples tels que 3 — s, = u,,84 —z2=—u,
de deux racines égales ct de signes contraires, en sorte que

‘ ; mire -—
son premrer membre sera le produit de — facteurs

de la forme u? — u?, et il ne renfermera que des puis-
sances paires de w. L’équation F (u) = o s’abaissera donc
au degré e *\I"k‘ en posant u? = v; l'équation en v est
dite l’éguation aux carrés des différences des racines de
la proposée.