209 COURS D'ALGÈBRE  SUPÉRIEURE.

Les multiplicateurs u, peuvent être choisis de ma-
nière que u, etv, n’aient aucun diviseur commun; par
exemple, si le plus grand commun diviseur d, de u, et de
v, ne se réduit pas à l’unité, le produit V, Q, sera divi-
sible par d,, d’après la première des égalités (3), et ce
produit s’annulera si l’on prend pour x l’une des

racines
de l’équation ({ — 0;
1 ,

mais le polynôme V, ne peut être
nul, puisqu’il n’a aucun diviseur ihdépendant de y; donc
il faut que Q, s’annule, et en conséquence Q, est divi-
sible par d,, quel que s’0it.y. Il résulte de là qu'au lieu

e - ; 2s VTAME, ;
3 — dalnis 5> ap-
du multiplicateur u, on aurait pu ch01su‘d ; dans les ap

plications du théorème de Labatie, il conviendra tou-
jours d’adopter les multiplicateurs les plus simples; ce-
pendant la démonstration que nous allons présenter ne
suppose point que l’on ait pris cette précaution.

Si, entre les # — 1 premières des égalités (3), on éli-
mane:V,, Va,s <, V, —, il est évident que le produit
e tn S = u,— V3 se trouvera exprimé par la somme des
polynômes V,, Va+15 multipliés chacun par une fonction
entière, et il est facile de voir que, si l’on divise par
d,ds..d,_, l’égalité ainsi obtenue, elle prendra la forme
-F y GNF G V S,

d,d,.. d _ d

G,—, et G, désignant des fonctions entières. D abord,
—s u2 8
pour p — 2, cette formule devient
u A ,
u=6G N —,
d d,
et elle coïncidera avec la première des égalités (3), sil’on
divise celle-ci par d, et que l’on pose

Qu
\ " — .
(5) G=s (11———l—,
ds