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200 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

nominateur D peut alors se réduire aussi à zéro. Tou-
tefois, on évitera les dénominateurs fonctions de x, si,
avant de commencer la division, on multiplie le poly-

nôme V, par une fonction entière X de x, convenable-

ment choisie; on aura alors
X— v.Q;#V,.

Les solutions des équations V, = o, V, — o sont com-
prises parmi celles des équations V, = 0, V, = 0; mais
ces dernières admettent en outre les solutions des équa-
tions X— 0, V,—0; donc, quand on remplacera le
système (1) par le système (2), on ne supprimera aucune
des véritables solutions, mais on pourra en introduire
qui soient étrangères à la question.

Il était important d’éviter ces solutions étrangères in-
troduites par la méthode du plus grand commun divi-
seur. Labätie a fait connaître en 1835 un théorème què
nous allons exposer et qui remplit cet objet de la ma-
nière la plus heureuse.

Théorème de Labatie.

93. Soient V, et V, deux fonctions entières de x et
de y qui n'ont pas de diviseur commun et qui ne ren-
ferment aucun facteur indépendant de y; ordonnons
V, et V, par rapport à y et opérons sur ces polynômes
comme s'il était question de chercher leur plus grand
commun diviseur, en ayant soin : 1° de multiplier cha-
que dividende par une fonction entière de x, choisie de
manière à éviter les dénominateurs fonctions de cette
inconnue; 2° de débarrasser chaque reste des facteurs
indépendants de y qu'il peut avoir, avant de le prendre
pour diviseur.

Soient uy, Us, <. Un les multiplicateurs ainsi em-