SECTION I. — CHAPITRE IV- 199

Supposons, d’après cela, que l’on opère sur les poly-
nômes V, et V,, comme s'il était question de chercher
leur plus grand commun diviseur ; on sera conduit à une
suite d’égalités telles que

v —v148 —V,,
v, <V Q; — V,.

V 2 E Q11—'2 vn

V;, V4, - - V, sontdes fonctions entières de y dont les
degrés formeront une suite décroissante, et la dernière
fonction V, est indépendante de y. Si aucune des divi-
sions qu’on vient d’exécuter n’a introduit de diviseurs
fonctions de x, en sorte que Qu, Q», - - -, Qn soient des
fonctionsentières de x et de y, ainsi que V3, V 4, - » <» Vn
il est évident que les solutions du système (1) seront les
mêmes que celles du système

(3) w, 0>10

dans lequel l’une des équations ne renferme que l’in-
connue x, et celle-ci sera l’équation finale qui résulte de
l’élimination de y entre les proposées.

Mais, le plus souvent, la recherche du plus grand
commun diviseur des polynômes V, et Vz introduit des
dénominateurs fonctions de x ; dans ce cas, les conclu-
sions précédentes ne subsistent pas. Si, par exemple, la
» introduit de tels dénominateurs,

division de V, par V

, N ‘ ‘
le quotient Q, sera de la forme = N et D étant des fonc-

tions entières; on aura
N

V,=V,
! *D

+ V3s

etl’égalité V, = V, n’aura plus lieu nécessairement pour
les valeurs de x et y qui annulent V,, parce que le dé-