196 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

admettent la solution (Xo, Yo) avec le degré de multipli-
cité k, mais que cette solution soit simple pour chaque
équation prise séparément, on pourra remplacer l’une
des équations par une autre pour laquelle la solution
(Xo, Yo) ait le degré de multiplicité Æ. Il est évident, en
effet, qu’à la dernière des deux précédentes équations
on peut substituer la suivante :

F(e5) —f(w5)4(w.5)=0,

qui remplira la condition requise sil’on détermine la fonc-

tion Ÿ (x, y ) comme on l’a expliqué au numéro précédent.

Application de la théorie du plus grand commun divi-
seur à la recherche des solutions communes à deux
équations à deux inconnues.

91. La théorie du plus grand commun diviseur fournit
une méthode très-simple pour ramener la résolution de
deux équations à deux inconnues à celle d’un ou de plu-
sieurs systèmes dans lesquels l’une des équations ne ren-
ferme qu’une seule inconnue. Nous allons exposer ici
cette méthode.

Soient

|

(') V— 0 Va O

deux équations algébriques entre les inconnues x et y.
Si les polynômes V, et V, sont décomposables en fac-

teurs, de manière que l’on ait

V =VV , V M =VV . VO),

2 2
il est évident que la recherche des solutions du sys-
tème (1) se ramènera à celle des solutions des uv sys-
tèmes

(2) Vl‘i‘)= 9, VU‘1]'>=01