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SECTION I. — CHAPITRE 1V. 195

équations à une seule inconnue; car, si on l’applique
aux deux équations f(x) = o, y = o, dont la première
a Æ racines égales à x,, elle indiquera que l’équation

f'(x) =0 a k— 1 racines égales à xo-

Mais le nouveau théorème n’a pas une étendue aussi
grande que le premier, car nous avons exclu le cas d’une
solution multiple qui satisferait aux quatre équations ob-
tenues en égalant à zéro les dérivées relatives à x et à y
des premiers membres des équations proposées. Ce cas
est celui dans lequel la solution que l’on considère est
une solution multiple de chacune des équations prises
séparément. En effet, si l’on pose, comme au n° 89,

Js aaqes t(£— .'I?o),

et que la fonction f(x, y ) du degré m puisse se mettre
sous la forme

F(æ, y) = (æ — x0)F pn (8) + 2 + (x — x0)" 9m (t),

9x (t) étant d’un degré égal à Æ, parmi les racines de
l’équation
en (t) +.1+(0 —x )*e, (t1)=0,

{

il y en aura À qui tendront vers des limites finies quand
on fera tendre x vers x4, d’où il résulte que k solutions
de l’équation /(x, y) = 0 viendront se confondre à la
limite avec la solution (xo, 0 ). Si l’on suppose que x ety
représentent des coordonnées rectilignes on pourra dire
que le point (xo, 0 ) est un point multiple d'ordre Æ pour
la courbe représentée par l’équation /(x,y)=0o.

Nous avons cru utile de faire cette indication, mais
nous n’entrerons point dans l’examen des détails du cas
singulier dont il vient d’être question. Remarquons seu-
lement que, si deux équations

./.(‘I“7Ï)=Ov F(‘r7Ï)=O