194 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

© (t), pourvu cependant que , (t) ne se réduise pas à
zéro. On éviteraeffectivement ce cas si l’on reprend l'ana-
lyse qui précède, après y avoir changé les lettres x et y
l’une dans l’autre.

Mais, si Q, (t) se réduit identiquement à zéro, la conclu-
sion précédente ne peut pas être maintenue ; dans ce cas,
les deux équations

D, w —0 P,ftwr -—

admettent la solution x = Xo, Y =Y0-

Comme rien ne distingue les équations (r) l’une de
l’autre, on peut énoncer le théorème suivant que nous
avions en vue :

Tuéorème. — Soient f(x, y)=0, F(x, y) =0
deux équations simultanées, et F, (x,y) la différence
D, f(x; y) DzF(æ, y) — D, f(æ,y) Dy,F(æ, y). Si
les équations proposées admettent la solution x = xo,
Y= yo avec un degré de multiplicité k, les équations
F,(x, y) =o, f(x.5y) = 0 admettront la méme solu-
tion avec un degré de multiplicité précisément égal à
k— 1, à moins que cette solution n'appartienne aux
deux équations Daf (x,y)= 0, D,f(x,y) = 0. Pa-
reillement les équations F,(x,y) = 0, F(x,y) =0 ad-
mettront la solution x = Xo, y = Y0 avec le degré de
multiplicité K— 1, à moins que les deux équations
D,F(x, y) =0, D,F(x, Y)= 0 n'aient cette méme
solution.

On voit que, dans tous les cas, une solution multiple

des équations f(x, y)= o, F(x, y) = o satisfait néces-
q Ë L X>.
sairement à l’équation

Dyf(w, y) D2F (æ, y) — D1n3 DE (x; Y == 0.

}
/

90. La proposition que nous venonsd’établircomprend
le théorème qui se rapporte aux racines multiples des

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