SECTION I, — CHAPITRE IV. 193

on aura aussi, en opérant de la même manière à l’égard
de y,

(l l) D, F(z, l1‘fJ—_/'\,p_ÿy‘ D,v \""vÏl‘ — d (æ y) D, f{.r, h D, x ;\'.1‘,

9

Nous poserons

\ 7 e 5 n SR P P MRE ( æ
(2) Fi(æ, y)=Dyf(æ, y). D,F 3 D, Fa y DJF+ n
et nous ferons en même temps, pour abréger l’écriture,
P (x,5) = Dyf(x,y).D.b(æ,y)—D, F(æ, y ).Dyv (æ, Y),
X (æ,4) = D, f(x,y)-Dax(æ, y)—Dz £(«, x)-Dyx («, n).
Alors, en ajoutant entre elles les équations (r0)et(1 1)res-
pectivement multipliées par +D, f(x,y) ec Dz f(X5F);
on trouvera

KIË) T(s J ) ——f(.r, _)”) UR (.1‘, Ï) =— (.r, y )

Les termes du premier degré en x —x9 et y — y, dans
f(æ,y) ont pour somme (x—xXo) 1 (t), et la dérivée de
cette somme par rapport à y est égale au coefficient gdet
dans o,(t), coefficient que toute notre analyse suppose
différent de zéro. Il en résulte que %, (x, y ) contiendra le
terme kgG(x — x0)"" avec d’autres termes qui seront
tous d’un degré supérieur à À— 1 par rapport à x — x, et
Y —J o ; cette fonction %, (x, y ) aura donc la forme

(4) 7u(w, y) =H 1-I'--7‘…}"—‘+EH… g(æ—%)"(y — %o)f,

V :
\

Het H,,, étant des constantes, et la somme p + d étant
supérieure à &— 1.

Les formules (13) et(14) montrent que (Xo, Y'o) est une
solution multiple d’ordre A—1 pourles équations simul-
tanées

F, (.1?, y) =0 _/\1‘ W\ =— 81
Ce résultat subsistera lorsqu’on donnera des valeurs par-
ticulières aux quantités qui restent arbitraires dans F et
dans f, lors même que ces valeurs feraient disparaître # de
S. — Alg. sup., I. 13