192 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

tent arbitraires de manière à satisfaire à l’équation (7),
n augmentera d’une unité (n° 86) le degré de multipli-
sité de la solution (x0, Yo)-

Ilrésulte delà que les formules (S ) donnent les condi-
tions nécessaires et suffisantes pour que le degré de mul-
tiplicité de la solution ( xo, 0 ) soit égal à Æ; ces mêmes
formules expriment qu'il existe une fonction Ÿ (x, y )telle,
que l’équation (6) ait lieu identiquement. Il faut remar-
quer que le polynôme T, n’est pas divisible pargy(t), à

moins que le degré de multiplicité de la solution (20,%0)
ne soit supérieur à À ; en outre il est évident qu’en dis-
posant de la fonction indéterminée w;_, (t), on pourra

réduire T à une constante différente de zéro.

Vs » S
Remplaçons ? par sa valeur —, la formule (6) de-
ds Q
viendra

(8) 55 —f(æ, y)4 (n3 e 4 e

,
X (æ, y ) étant, d’après ce que nous venons de dire, un
polynôme de la forme

\ Pn M/ E \æ E ( D1x #1
(9/‘1 X("’—)/“_GK'I'—'I‘OÏ su GVI’»']"Î}—"<',‘I)‘.) 70 (Iv

où G et G,,7q désignent des coefficients constants et où le
signe E embrasse un nombre limité de termes dans

chacun desquels le degré p+ q est supérieur à À.
Nous emploierons les caracléristiques 19 U pour re-
présenter les dérivées de nos polynômes prises par rapport
à x et à y respectivement; ainsi D,F (x,y), D,F (x
désigneront les dérivées de F (æ, y) relativement à x et
à y. Cela posé, si dans l"idcnlilé(8) on remplace
x + h, et qu’on égale les coefficients de la première
sance de » dans les deux membres, il viendra

X ])(ll‘

puis-

(to) D,F (‘”’Ï)'—f('Ï7Ï) D,v(æ,y) — Ÿ (æ, J) Daf(æ,y)= D,x (, J)