154 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

tels que la somme
(3) S+TV,+T,V,+...+T,V,=S'

ne renferme plus aucun terme divisible par l’un des mo-
nômes (2); j'ajoute qu’en général ces polynômes ne se-
ront pas complétement déterminés et qu'ils pourront
en conséquence être choisis de plusieurs manières dif-
férentes. En effet, désignons par m le degré de la fonc-
tion S et prenons pour T;, T,,...; T; les fonctions
entières les plus générales des degrés respectifs

m—m, M— M;, ..,, M— M,

chacune de ces fonctions devant toutefois être réduite
à zéro, lorsque le nombre qui doit exprimer son degré
est négatif.

Le nombre des coefficients arbitraires contenus dans
le premier membre de la formule (3) sera évidemment

(4) N(r,m—m,) HN(n,m — m,) +...+ N(n, m — mp)s

d'ailleurs ce premier membre est un polynôme complet
du degré m qui renferme N (n, m) termes, et parmi
ceux-ci il y en a (n° 68

N \
AmkAm;;_[ ue -A…|l\ n,m

qui ne sont divisibles par aucun des monômes (2). Le
nombre des termes de l’expression (3) qui sont divisibles
par l’un des monômes ( » ), termes que nous voulons faire
disparaître, est donc

(5‘ N(z,m) — Amp Amp_r * » - Am, N (R, M).

m, *

Or on a vu au n° 67 que le nombre (4) n’est jamais in-
férieur au nombre (5); donc les arbitraires contenues
dans la formule (3) seront toujours en nombre suffisant
pour l’évanouissement de tous les termes divisibles par
l’un des monômes (2).