SECTION I. — CHAPITRE IV. 149

signe E dans la formule (7), ne soit jamais négative, et
la condition pour qu'il en soit ainsi est
(9) m=ou>(m —1) + (mp — 1) +. .. + (Mn —1).

Si cette condition n’est pas satisfaite, comme les indé-
terminées j1, Pa,... Varient de o à m,—1, de o à
m —1, : , respectivement, la somme p + 2 +- .- #Hn
prendra au moins une fois chacune des m + 1 valeurs
o, 1, 2,..., m; donc, dans le second membre de la for-

mule (7), où l’on suppose #= n, il y a plus de m termes
égaux à I, et l’on a alors
(10) ÀA Bmc> <8 m Nn m4 > M

67. J’établirai encore ici une inégalité qui nous sera
utile dans ce qui va suivre, et que l’on conclut très-faci-
lement des formules (4) et (6). Le nombre que représente
le symbole N n’étant jamais négatif, il en est de même des
expressions dont la valeur est fournie par la formule (7);
alors les formules (4) et (6) nous donnent

N(n, m) > 4m, N(R, M) > A Gm N (, M) Ds 500
Ainsi on aura généralement
N(7, m}> As Amp-r* + * 8m, N (, M)3
en changeant m en 1m — mx, et en écrivant dans le second

membre
N(n,m) — & N(7, M),

au lieu de N (7,m — mz), On aura
N (72, m — M ) > Amp * * Am, N (, M) — Ayap e 1 Am, N (, M ).
Cela posé, on a l’identité
N(n, m — r)èl] =N(n,.m) — A,n, N(R, m),

et en donnant à Æ les valeurs 2, 3,. . . , k, dans l’inégalité