SECTION I. — CHAPITRE IV. 147

ce qui va suivre, l’entier m pourra recevoir des valeurs
négatives, et nous conviendrons que, pour de telles va-

leurs, on a
N(r,m)=0o,

lors même que n aurait la valeur zéro.
Si l’on remplace m par m — 1 dans la formule (À) on

aura
, _ m(m+1)...(m+n—1)
N(r, m —1)}= —— 7
Vs QvOis ds

et par suite, en supposant n > 1,

; (n ii{m P o)/. (M REN
N(r, m) — N(n, m—x,‘=\)\-——————————l—(—(————_—)
' 1.2.3...(R —1)

ou
N(r,m) — N(n,m—1) = N(r—1,m).

Cette formule a été établie dans l’hypothèse de 7n posi-
tif etde n > 1; mais, d’après notre définition du symbole
N, on reconnaît qu'elle subsiste quand m est nul ou né-
gatif, et quand » est égal à 1. Si l’on y remplace m sue-
cessivement par m, m—1, M— 3, ..., (M—M, +1),

et qu’ôn ajoute les m, équations résultantes, il viendra

\

N(rn,m) — N(n,m—m,) =N (n—1,m) +N(n—1,m—1)+….
HN n—1,m—m +1),
formule qui subsiste évidemment, quel que soit le nombre
entier m, supposé positif,
Si l’on pose

(4) An N(R,m) = N(7,m) — N(n,m — m,),
la formule précédente pourra s’écrire comme il suit :
&m4=m,—1

(5) Am, N(2, m) = E N(7—1,m—p;),

# =0