SECTION I. — CHAPITRE IV. 145

la somme des exposants æ;, &9, » « » ; Zn41 Étant égale à m.
Le nombre total des termes dont il s’agit est précisément
celui des combinaisons complètes m à m des n + 1 lettres
213 723 » » « » En41, COmbinaisons dans lesquelles une même
lettre peut figurer plusieurs fois. On sait que le nombre
de ces combinaisons complètes est égal au nombre des
combinaisons simples de n + m lettres m à m, et voici
d’ailleurs comment on peut établir l’égalité de ces deux
nombres. SupP050ns que l’on ait écrit toutes les combi-
naisons complètes des n +1 lettres zy, 32, » » « y En41, MM àM,
de manière que dans chacune d’elles l’indice d’une lettre
ne soit jamais supérieur à l’indice de la lettre suivante ;
désignons par A l’ensemble de toutes ces combinaisons.
Supposons que l’on ait formé en même temps toutes les
combinaisons simples des7z+ mlettres 31, 32, »< , Fngmy M
à m, de manière que dans chaque combinaison les indices
des lettres forment une suite croissante, et désignons par B
l’ensemble de ces combinaisons. Il est évident que si, dans
chaque combinaison B, on retranche respectivement les
nombres o, 1,2, 3, . . . , (m— 1)des indices des lettres suc-
cessives, on obtiendraune combinaison À; réciproquement,
chaquecombinäison À se changera en une combinaison B,
Æ1ïn]augn10ntcrcspccth1nncntlesindjccsdcslcUrcs5uc—
cessives des nombres 0, 1, 2,3,...,(m—1). D'ailleurs, par
l’opération dont il vient d’êètre question, deux combinai-
sons diflérentes de l’un des systèmes À et B se changent
en deux combinaisons nécessairementdistinctes ; donc les
deux systèmes renferment le même nombre de combinaisons.

H résulte de là qu’une fonction entière et homogène du
degré m dépendant de n + 1 variables a, dans le cas le
plus général,

(n—+—l“{n+2\...

(n +m)

 

1.23 550
termes.

S. — A(g. sup., Le 10