SECTION I, — CHAPITRE III. 120

du degré n de multiplicité. Si du point G comme centre,.
avec un rayon suffisamment petit, on décrit la circon-
férence MINK, puis que l’on joigne respectivement les
deux points M et N de cette circonférence à deux points
P et Q du contour donné, le théorème de Cauchy aura
lieu, d’après ce qui précède et d’après le lemme du
n° 54, pour les trois contours juxtaposés KNODAPMK,
MINKM et IMPBCONI ; donc il a lieu pour le contour
proposé ABCD qui résulte de la réunion des trois pré-
cédents. Les deux premiers des contours dont il vient
d'être question ont la partie commune NKM, et leur
réunion forme le contour NQODAPMIN ; celui-ci a, avec
le dernier des trois considérés, la partie commune PMINOQ,
et leur réunion forme le contour ABCD.

4° Le théorème énoncée a lieu, quelque soit lenombre
des points racines compris dans le contour donne.

En eflet, on peut décomposer l’espace limité par le
contour en plusieurs parties qui ne contiennent chacune
qu’un seul point racine ; le théorème aura lieu pour
chacun des contours partiels que l’on obtiendra ainsi,
et en conséquence il aura également lieu pour le con-
tour proposé qui résulte de leur réunion.

Le théorème de Cauchy est donc complétement dé-

montré.

56. 11 faut remarquer que la démonstration précé-
dente ne suppose en aucune façon l’existence du prin-
cipe d’après lequel toute équation a une racine, el
j'ajoute que ce principe n'est qu'un corollaire du théo-
rème de Cauchy, lequel peut être regardé dès lors
comme le fondement de la théorie des équations. Voici,
en effet, une démonstration nouvelle du principe du

‘

n° 44, qui est analogue à celle du lemme du-n° 54

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