SECTION I. — CHAPITRE III. 127

En effet, soient u le nombre des racines égales ou
inégales comprises dans le contour total ADBCA, et À
l’excès relatif à ce contour ; soient aussi p'et À", p" et A”
les quantités analogues pour les contours respectifs ABCA

et ADBA. On a, par hypothèse

 

-n
mais la somme A'+ A" se compose évidemment de
l’excès À augmenté de la somme des deux excès qui ré-
pondent l’un à la partie AB du contour partiel ABCA et
l’autre à la partie BA du second contour ABDA ; il est
évident que ces derniers excès sont égaux et de signes
contraires; donc on a
A — A" # A”;

d’ailleurs

> ‘L — !/A’ + lJ—”,
donc

K=s e

Il résulte de là que :

Si le théorème énoncé a lieu pour un nombre quel-
conque de contours juxtaposes, il a lieu aussi pour le
contour forme par leur reunion.

9° Le théorème énoncé a lieu lorsqu'iln'y a aucune
racine de l'équation f (z=)=0, dans l'espacelimité par
le contour donné. En d'autres termes, si l'on au=0o,
on a aussi À = o.

En effet, 1l peut y avoir dans l’intérieur du contour
donné comme sur le contour même des points pour les-
quels on a soit P— 0o, soit Q= 0; mais, par hypothèse,
il n’en existe aucun pour lequel on ait à la fois P=o,
Q = o. Il résulte de là que l’on peut toujours décom-
poser l’espace limité par le contour donné en plusieurs