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SECTION I, — CHAPITRE III. I20

variable, P et Q étant des fonctions réelles et entières
des wariables x et y. Tracons dans le plan des axes
rectangulaires Ox, Oy un contour fermé quelconque
qui ne passe par aucun des points racines de l'équation

fw s== QN auquel cas le rapport Ô aura, en c/1aque

point du contour, une valeur déterminée. Si l’on suit
le contour ABCD en partant d'un point (/l(fi]C0/l(/llfi A
et en marchant toujours dans le mëme sens ABCD jus-
(/l('ù ce (/lt'0ll soitrevenu au point de (Ïépdl'l, le rapport

P. - ;
0 prendra diverses valeurs, et il passera par zéro

chaque fois que P sera nul, tandis qu’il deviendra in-
fini lorsque Q s'annulera. Cela posé, soit k le nombre

S P ,3 ;
de fois que le rapport (—2» en s’évanouissant et en chan-

geant de signe, passe du positif au négatif, K le
nombre de fois (/u,(5 le méme rapport, en s’évanouis-
sant et en changeant de signe, passe du negatif au
positif; le nombre k ne sera jamais inférieur à K et
l’excès k—K = À sera toujours égal au double y du
nombre u des racines égales ou inégales de l’équation
f(=)=0, comprises dans la portion du plan limitée

par le contour ABCD.

 

y
uS
# /
d ,
p /B
H A
( ps
(n
A
6“ ç q es _Ï

Le contour fermé ABCD est quelconque, convexe ou
non convexe; pour bien fixer le sens dans lcquo‘. ce

contour doit être parcouru, imaginons un cercle d'un