SECTION !. — CHAPITRE TII. 119

et, par suite

\

(2) z:p(cosœ+isinw),

en sorte que p est le module et œ l’argument de la va-
riable imaginaire z.

En outre, si f(z) désigne une fonction entière de z
d’un degré quelconque m dans laquelle les coefficients
soient des quantités réelles ou imaginaires données, on

aura, en remplaçant z par la valeur (1),
f(s)/=— P iQ,

P et Q étant des fonctions réelles et entières des coor-
données x et y; d’où il résulte, comme nous l’avons
déjà dit, que la recherche des racines de l’équation

F(3} =6
équivaut à celle des points pour lesquels on a simul-
tanément
P=0; 0 0

et auxquels nous appliquons, pour abréger, la dénomi-
nation de rracines.

Enfin, si le polynôme f(z) est divisible par la n
puissance de z — z9, sans l’être par une puissance supé-

ième

rieure du même binôme, nous sommes convenu (n° 45)
de dire que l’équation f(=)=0 a n racines égales à Z0;

on a, dans ce cas,
f(w)=—0, Fl 0,, — fUn —0
mais la dérivée du niême ordre, f”(z), ne s’annule pas

pour =— 0.

54. Ces notions rappelées, nous nous proposons d’éta-
blir ici une pl‘np05itiûn importante due à Cauchy et qui
constitue l’un des plus beaux théorèmes de l’Algèbre.