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118 COURS D'ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
et elle se f|éconlposcl'a dans les deux suivantes :
P—— {= (\)V —+ « )p sin À,

a0—{+ P +6' psinod.

Puisque le module de « + Si est inférieur à r tant que la
valeur absolue de d reste au-dessous d’une certaine limite
« et 6 seront compris entre —r et +r. D'ailleurs r est
aussi petit que l’on veut; donc si P’et Q” ne se ré-
duisent pas à zéro, les quantités AP et AQ seront res-
pectivement de même signe que — Q" sin d et + P’sind.

De là résulte le théorème suivant :

Tnéorèwe I. — Soit f(z) une fonction entière de
la variable imaginaire z —P (cosw+isinw ); posons
f(=)=P+1Q, P et Q étant des fonctions réelles et
entières de p qui dépendent aussi de [(II'3‘IUH(”III œ, et
d(£«'[5‘/10115 par P', Q' les dérivées des /)(){) nômes PetQ
prises par rapport au module p. Si l'on attribue à ce
module p une valeur déterminée et que l'on fassecroitre
l'argument à de 0 à 9, la fonction Q croitra tant que
P" sera positive et elle décroitra tant que P'sera néga-
tive. Au contraire, la fonction P décroitra tant que Q'

sera positive et elle croitra tant que Q' sera négative.

Zhéorème de Cauchy.

53. La variable imaginaire
(l“ z—x+i‘y

peut être figurée géométriquement (n° 44) par un point
c O \

mobile M ay ant pour abscisse x, et pour ordonnée y, re-

lativement à deux axes rectangalaires fixes Oxet Oy. Si

p et œ désignent les coordonnées polaires du même point,

on aura
x:;p<'n5 , y :î.{1>‘ill(;),