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SECTION I, — CHAPITRE III. 110

on pourra (n"!æÛ) assigner une quantité positive r telle,
que pour toutes les valeurs de » comprises entre — et
+ r le premier membre de la formule précédente ait
le signe de /"(z).1l s’ensuit que, si f"( = ) est une quan-
tité positive, lafonction f(z) croîtra constamment quand
on fera croître z depuis 30 —7 jusqu’à =0 +7. Au con-
traire, si f'(z0) est négative, f(z) décroîtra quand z
croîtra de 30 — r à 30 + r. De là résulte la proposition
suivante :

Tnéorème I. — La fonction entière f'(z) supposée
réelle croît avec la variable réelle z,  tant que la de-
rivée f'(z) reste positive, et elle décroît quand on fait
croître z, tant que la dérivee f'(z) est négative.

Il fautremarquer que, z croissant de——œ_ à œ la
dérivé f'(z) peut s’annuler une ou plusieurs fois, mais
cette circonstance ne peut être l’occasion d’une difficulté.
Supposons, par exemple, que /"(z) s'annule pour 3 = 30,
et prenons une quantité g assez petite pour que z soit la
seule racine de f'(z)=0 comprise entre z4— Z et
z0+ &; désignons en même temps par h une quantité
positive inférieure à g et aussi petite d’ailleurs que l'on
voudra. Le théorème précédent s’'appliquera sans diffi-
culté, quel que soit h, aux valeurs de z comprises entre
z0— & et z4—houentrezo+h et 30 +8; or ces deux
intervalles se succèdent à la limite quand on fait”/=0o. À
l’énoncé qui précède, on peut, sil’on veut, substituer le
suivant : ‘ 4

La fonction entière f (z) supposee réelle croit avec la
wariable réelle z, tant que la dérivée f'(z) n'est pas né-
gative, et elle décroit quand on fait croître z, tant que
la dérivée f'(z) n'est pas positive.

52. Nous allons établir actuellement un théorème ana-