SECTION I. — CHAPITRE III. 100

élevé coïncide avec celui des diviseurs communs à V et
R qui a le plus fort degré; en d’autres termes, le poly-
nôme D que nous cherchons est le plus grand commun
diviseur des polynômes V et R.

Nous diviserons donc V par R, et, si la division se
fait exactement, R sera le plus grand commun diviseur
demandé. S’il n’en est pas ainsi, désignons par R, le
reste de la division de V par R; le raisonnement que
nous avons fait plus haut nous prouve que le polynôme
demandé D sera le plus grand commun diviseur des
polynômes R et R,. On peut continuer de la même
manière jusqu’à ce que l’on arrive à un reste R, qui soit
indépendant de z, et cela ne peut manquer d’arriver
puisque les degrés des restes successifs R, Ry, - . , Ra —0
R, forment une suite décroissante. Si ce reste constant
R, est zéro, le polynôme demandé D sera égal à R,_; ;
mais si le reste constant R, n’est pas nul, les polynômes
proposés U et V n’auront pas de diviseur commun, et
l’on dit alors qu’ils sont premiers entre eux, ou que
leur plus grand commun diviseur est l’unité.

De là résulte cette importante p1‘0positi(m :

Trforèwe I. — Si deux équations U= 0,, V= 0 ont
u racines communes égales ou inégales, on pourra for-
mer par de 5imples divisions algébz'it;u@s une équation
D =— o de degré y qui admettra ces y racines.

48. On peut tirer de ce qui précède une autre propo-
sition qu’il convient de remarquer, savoir :

Tréonème I. — Si U et V sont deux fonctions en-
tières de z, sans diviseur commun, on pourra trouver
deux autres fonctions entières de z, X et Y, telles que

l’on nit
UX —VY=—T.