108 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

deux fonctions entières de z, l’une du degré m, l’autre
du degré n, et dont les coefficients sont des quantités
quelconques données. Chacune de ces fonctions peut
être décomposée en facteurs linéaires, et parmi les fac-
teurs de U il peut s'en trouver quelques-uns qui appar-
tiennent aussi à V. Nous désignerons par D le produit
de tous les facteurs linéaires égaux ou inégaux com-
muns à U et à V, et ce produit D sera dit le plus grand
commun diviseur des polynômes U et V. Dans cette
recherche, les coefficients A, et B, des plus hantes puis-
sandes de z, dans U et dans V, ne jouent évidemment
aucun rôle, et on peut les réduire à l’unité en divisant
les coefficients de U par A, et ceux de V par Bv.

Supposons, pour fixer les idées, que m ne soit pas
inférieur à n. Si le polynôme V divise U exactement,
il sera évidemment le plus grand commun diviseur de-
mandé ; mais supposons qu'il n’en soit pas ainsi; dési-
gnons par Q le quotient et par R le reste de la division.
On aura

U=VQHR;

siles coefficients Ay et By n’ont pas été réduits à l’unité,
l’opération que nous venons d'exécuter a pu introduire
des coefficients de forme fractionnaire, ce qui n’a aucun
inconvénient au point de vue théorique ; mais on pourra
les éviter si l’on veut, dans les applications, en multi-
pliant U par un facteur constant convenablement choisi,
avant de commencer la division. Cela posé, tout poly-
nôme qui divise V exactement divise aussi le produit VO,
et, s’il divise en même temps l’un des polynômes Uet R,
il divisera aussi le second. Il résulte de là que les poly-
nômes U et V admettent les mêmes diviseurs communs
que les polynômes V et R; donc, en particulier, celui

des diviseurs communs à U et V qui a le degré le plus