106 COURS D,ALGÈB[‘\É SUPÉRIEURE.

supérieur à m, les coefficients des diverses puissances
de z dans f (z) sont identiquement nuls.

En effet, le coefficient de la plus haute puissance de z
est nul, puisque autrement la f()n(:ti(')lljÏîZ) ne pourrait
s'annuler que pour m valeurs de z. La fonction f(=) se
réduit ainsi au degré m — 1 ; le coefficient de =—" doit
être nul pour la même raison, et ainsi de suite.

Limites des modules des racines.

46. Il est facile d’assigner deux limites entre lesquelles
soient compris les modules de toutes les racines réelles
ou imaginaires d’une équation. Soit

\

f(z)=0

une équation donnée dont le premier membre a pour va-
leur

/

Fs PAate A TH AN
Si l’on pose

z = p(cose + isine),  A, — an (Cosa, + isin æn ),
puis

j f * >ne
P=a<.P'” C(,)S\I?lm+ao) #. #+app"cos(m — ne+ ln> H <0 # A COS Xm

 

Q:(loPm sin ()‘Ilœ “ '/-u\fi es +anP” sm ('"' T RO4 4n ) Æ 100 — An SR Xms

le carré du module R de f(z) pourra être mis sous la
forme
R?= [Pcos(me +— « ) + Q sin (mo + œ ) |*

+ [P sin (m œ + %, } — Qcos(mo + æ ) |?;
si donc on fait

; S ‘ ;
V =Pcos(me + « } + Q sin(me + & )

= ap”* +a,p""!cos(e—+ 0 — 1} + A C0S (M 20 — )3