SECTION 1. —— CHAPIIRE‘*TLE IOI

La quantité entre pafenthùscs a pour limite l’unité
quand on faittendre p vers zéro, et nous savons que cette
quantité reste positive pour toutes les valeurs de p com-
prises entre zéro et une certaine limite 7* que l’on peut
assigner. Donc, pour toutes les valeurs de p supérieures à
zéro et inférieures à la plus petite des deux quantités —=

\ C
etr, on auvra

R
— <T ou- R Ry,
Ro
ce qui démontre la proposition énoncée.
De ce lemme résulte immédiatement la démonstration
du principe fondamental de la théorie des équations, le-

quel consiste dans le théorème suivant :

4. Tnéonème 1. — Si f(z) désigne une fonction
entière de z, d’un degré quelconque m, et dans la-
quelleles coefficients soient des quantités donnees, reelles
ou imaginaires, l’équation f(z)= 0 a une racine réelle

ou imaginaire.

En effet, si l’on donne à la variable z toute la série des
valeurs réelles ou imaginaires, il est évident que le mo-
dule de f(z), qui est essentiellement positif, ne pourra
pas s’abaisser au-dessous d’un certain minimum. Ce mi-
nimum ne peutrépondre à une valeur infinie du module
de z, car nous savons que le module de f(z) devient
infini en même temps que celui de =. On voit alors que le
minimum du module de /(z) ne peut être que zéro ; car,
s’il avait une valeur R, différente de zéro et répondant à
la valeur =0 de z, on pourrait trouver, d’après le lemme
qui précède, une quantité / qui donnerait

mod /(z5 + h) < Pio,

ce qui implique contradiction.