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98 COURS D’ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

ordre, ou la première dérivée, ou sim plement la dérivée
def(=). Pareillement f"(z), qui est la dérivée de f(z),
est dite la dérivée du deuxième ordre, ou la deuxième
dérivée de f (z), etainsi de suite jusqu’à f" (z), qui sera
la dérivée du miè"e ordre ou la mième dérivée de f(=). Une
fonction entière du degré m a ainsi m dérivées successives
dont les degrés sont respectivement m —1, m—9, .. …,
1, 0,en sorte que la m'°"° dérivée est égale à une simple
constante.

D'après ce qui précède, lorsque la variable z reçoit l’ac-
croissement h, la fonction f(z) prend un accroissement
qui peut être mis sous la forme

) F(3+h)—f(2)= h f'(z) + he,
/ ) = \

/

en posant, pour abréger,

h ‘ h? n Rs ,
(?) ue (fl/{\:>+î3.f”(Z}+-—-+——f… =),

sA -MU

 

On a donc

F (3 +h)—f(3)

(3) x

 

=f(=)+s,

et,comme e tend vers zéro en même temps que À, on voit
que la dérivée d’une fonction entière f (z) est la limite
vers laquelle tend le rapport

F(=+n)—f(z)
h

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lorsqu’on fait tendre » vers zéro.

En outre, quelle que soit la valeur attribuée à z, on
peut assigner une quantité positive r (n° 40, corollaire Il )
telle que, pour toutes les valeurs de » dont le module est
inférieur à r, le module de la fonction e soit inférieur
à une quantité positive donnée n aussi petite que l’on
voudra.